В геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются

Все мы в школе проходим курс геометрии — науки, в кото­рой кто-то не видит смысла, а иные находят свое призвание. При этом мы изучаем Евклидову геометрию, зародившуюся бо­лее двух тысяч лет назад, но и сейчас остающуюся актуальной. Но почти все слышали и о других, так называемых неевкли­довых геометриях, в частности — о геометрии Лобачевского. И самое странное, что знакомство с этой наукой заканчивалось на утверждении, что она допускает возможность пересечения параллельных прямых. Этот факт удивляет, даже поражает, но, как и все непонятное, воспринимается на веру.

А ведь на самом деле геометрия Лобачевского не так уж силь­но отличается от привычной нам геометрии и параллельные прямые в ней не пересекаются — это досужий миф, родившийся при странных обстоятельствах. Но, для того чтобы это понять, необходимо хотя бы вкратце разобрать историю появления гео­метрии как науки.

В школах изучается геометрия, основы которой были зало­жены древнегреческими математиками. А примерно в 300 году до н. э. свет увидел труд, ставший основой всей современной геометрии, — «Начала» Евклида.

В «Началах» собраны все геометрические сведения, получен­ные трудами десятков математиков античности, живших до Ев­клида. Этот труд, состоящий из тридцати больших томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И «Начала» прекрасно описывают про­странство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию (как и пространство) назвали Евклидовой.

Однако с конца XVIII века начались попытки создания гео­метрии, отличной от геометрии, описанной в «Началах». При­чиной тому стали противоречия, возникающие в Евклидовой геометрии, в частности знаменитая проблема пятого постулата. Следствием этого постулата является понятие параллельных прямых, не пересекающихся на всем их протяжении. Само по себе это утверждение не представляет собой чего-то необыч­ного или странного, но в нем есть один изъян — доказать его с помощью математического аппарата просто-напросто невоз­можно! И именно это обстоятельство толкнуло ученых на соз­дание неевклидовой геометрии, в которой данный недостаток был бы устранен.

Над указанной проблемой трудилось несколько ученых, в том числе и знаменитый Карл Гаусс, но «первопроходцем» в этой области стал русский математик Николай Лобачевский. Первая его работа, заложившая основы геометрии, отличной от Евклидовой, появилась в 1829 году и с тех пор не претерпела осо­бых изменений. Вначале геометрия Лобачевского считалась не­пригодной к практическому применению, так как пространство, в котором мы живем, не соответствует пространству, описы­ваемому этой геометрией. Однако законы, выведенные Ло­бачевским, вскоре нашли практическое применение — стало возможным решение ряда практических задач, практически не решаемых с помощью традиционных средств.

Главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Ев­клида — в том же пятом постулате. Именно из-за этой аксиомы многие люди ошибочно считают, что неевклидова геометрия допускает пересечение параллельных прямых. Однако это глу­бочайшее заблуждение, родившееся из-за неверной трактовки постулата и некоторых упущенных из внимания вещей.

Пятый постулат геометрии Лобачевского утверждает, что если на плоскости лежат прямая и точка, то через эту точку мож­но провести хотя бы две прямые, не пересекающиеся с первой прямой. А в геометрии Евклида через точку можно провести только одну-единственную прямую. Таким образом, неевкли­дова геометрия допускает, что на одной плоскости может на­ходиться сразу несколько прямых линий, не пересекающихся друг с другом.

А утверждение о возможности пересечения параллель­ных прямых в геометрии Лобачевского возникло из-за про­стого незнания аксиом этой геометрии. Ведь при ближайшем рассмотрении оказывается, что в неевклидовой геометрии не только не говорится о пересечении параллельных прямых, но и не говорится о параллельных прямых вообще — разговор здесь идет именно о непересекающихся прямых, находящихся на одной плоскости.

Чтобы понять это, необходимо сделать одно очень важное уточнение: геометрия Лобачевского описывает не плоское пространство, как это делает геометрия Евклида, а оперирует понятиями гиперболического пространства. В геометрии Ло­бачевского пространство не плоско, оно имеет некоторую от­рицательную кривизну. Представить это достаточно сложно, но хорошей моделью такого пространства являются геометриче­ские тела, похожие на воронку и седло. И все сказанное выше относится именно к поверхностям этих фигур.

Так что необходимо избавиться от превратных понятий о геометрии Лобачевского и понять, что она может применяться только по отношению к миру с искривленным пространством. Однако космология (наука, изучающая Вселенную) в последние годы приходит к выходу, что пространство, в котором мы живем, может обладать отрицательной кривизной, наилучшим образом описываемой именно геометрией Лобачевского.