Все мы в школе проходим курс геометрии — науки, в которой кто-то не видит смысла, а иные находят свое призвание. При этом мы изучаем Евклидову геометрию, зародившуюся более двух тысяч лет назад, но и сейчас остающуюся актуальной. Но почти все слышали и о других, так называемых неевклидовых геометриях, в частности — о геометрии Лобачевского. И самое странное, что знакомство с этой наукой заканчивалось на утверждении, что она допускает возможность пересечения параллельных прямых. Этот факт удивляет, даже поражает, но, как и все непонятное, воспринимается на веру.
А ведь на самом деле геометрия Лобачевского не так уж сильно отличается от привычной нам геометрии и параллельные прямые в ней не пересекаются — это досужий миф, родившийся при странных обстоятельствах. Но, для того чтобы это понять, необходимо хотя бы вкратце разобрать историю появления геометрии как науки.
В школах изучается геометрия, основы которой были заложены древнегреческими математиками. А примерно в 300 году до н. э. свет увидел труд, ставший основой всей современной геометрии, — «Начала» Евклида.
В «Началах» собраны все геометрические сведения, полученные трудами десятков математиков античности, живших до Евклида. Этот труд, состоящий из тридцати больших томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И «Начала» прекрасно описывают пространство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию (как и пространство) назвали Евклидовой.
Однако с конца XVIII века начались попытки создания геометрии, отличной от геометрии, описанной в «Началах». Причиной тому стали противоречия, возникающие в Евклидовой геометрии, в частности знаменитая проблема пятого постулата. Следствием этого постулата является понятие параллельных прямых, не пересекающихся на всем их протяжении. Само по себе это утверждение не представляет собой чего-то необычного или странного, но в нем есть один изъян — доказать его с помощью математического аппарата просто-напросто невозможно! И именно это обстоятельство толкнуло ученых на создание неевклидовой геометрии, в которой данный недостаток был бы устранен.
Над указанной проблемой трудилось несколько ученых, в том числе и знаменитый Карл Гаусс, но «первопроходцем» в этой области стал русский математик Николай Лобачевский. Первая его работа, заложившая основы геометрии, отличной от Евклидовой, появилась в 1829 году и с тех пор не претерпела особых изменений. Вначале геометрия Лобачевского считалась непригодной к практическому применению, так как пространство, в котором мы живем, не соответствует пространству, описываемому этой геометрией. Однако законы, выведенные Лобачевским, вскоре нашли практическое применение — стало возможным решение ряда практических задач, практически не решаемых с помощью традиционных средств.
Главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида — в том же пятом постулате. Именно из-за этой аксиомы многие люди ошибочно считают, что неевклидова геометрия допускает пересечение параллельных прямых. Однако это глубочайшее заблуждение, родившееся из-за неверной трактовки постулата и некоторых упущенных из внимания вещей.
Пятый постулат геометрии Лобачевского утверждает, что если на плоскости лежат прямая и точка, то через эту точку можно провести хотя бы две прямые, не пересекающиеся с первой прямой. А в геометрии Евклида через точку можно провести только одну-единственную прямую. Таким образом, неевклидова геометрия допускает, что на одной плоскости может находиться сразу несколько прямых линий, не пересекающихся друг с другом.
А утверждение о возможности пересечения параллельных прямых в геометрии Лобачевского возникло из-за простого незнания аксиом этой геометрии. Ведь при ближайшем рассмотрении оказывается, что в неевклидовой геометрии не только не говорится о пересечении параллельных прямых, но и не говорится о параллельных прямых вообще — разговор здесь идет именно о непересекающихся прямых, находящихся на одной плоскости.
Чтобы понять это, необходимо сделать одно очень важное уточнение: геометрия Лобачевского описывает не плоское пространство, как это делает геометрия Евклида, а оперирует понятиями гиперболического пространства. В геометрии Лобачевского пространство не плоско, оно имеет некоторую отрицательную кривизну. Представить это достаточно сложно, но хорошей моделью такого пространства являются геометрические тела, похожие на воронку и седло. И все сказанное выше относится именно к поверхностям этих фигур.
Так что необходимо избавиться от превратных понятий о геометрии Лобачевского и понять, что она может применяться только по отношению к миру с искривленным пространством. Однако космология (наука, изучающая Вселенную) в последние годы приходит к выходу, что пространство, в котором мы живем, может обладать отрицательной кривизной, наилучшим образом описываемой именно геометрией Лобачевского.
